Викладач: Воробець Г.М.

 

Означення. Конусом (круговим конусом) називається тіло, яке складається з круга, точки, що не лежить в площині цього круга і всіх відрізків, що з’єднують цю точку з точками основи.Круг з центром в точці О – основа; S – вершина; SA – твірна конуса.Поверхня конуса складається з основи і конічної поверхні (бічної поверхні).

Означення. Конус називається прямим, якщо пряма, що сполучає вершину з центром основи, перпендикулярна основі. В подальшому ми будемо розглядати тільки прямий конус. Прямий круговий конус можна уявити собі як тіло, отримане при обертанні прямокутного трикутника навколо катета (див. мал.).Частина конічної поверхні, утворена гіпотенузою цього трикутника, називається бічною поверхнею конуса.

Означення. Висотою називається перпендикуляр, опущений з вершини конуса на площину основи. На мал. BO – висота.У прямого конуса основа висоти співпадає з центром основи. У конуса пряма, що містить висоту, є віссю конуса.

Перерізи конуса площинами

Розглянемо перерізи конуса площиною, яка проходить через вершин S конуса.

 

        Якщо площина проходить через вершину конуса, то вона перетинає бічну

поверхню або в одній точці (1), або по двом її твірним (2), або має з поверхнею

одну спільну твірну, тобто дотикається до даної поверхні (3).У другому випадку

в перерізі отримаємо рівнобедрений трикутник, оскільки твірні конуса рівні.

Переріз, який містить вісь конуса називається осьовим.Розглянемо переріз

площиною, яка не містить вершину конуса, а саме, паралельна основі.

Теорема. Площина, паралельна площині основи конуса, перетинає конус по

кругу, а бічну поверхню – по колу з центром на осі конуса.

Доведення.Нехай α – площина, паралельна площині основи конуса і перетинає

конус.Перетворення гомотетії відносно вершини конуса, яке суміщає площину

α з площиною основи, суміщає переріз конуса площиною α з основою конуса.

Отже, переріз конуса площиною є круг, а переріз бічної поверхні – коло з

центром на осі конуса.Теорема доведена. Якщо обертати прямокутну трапецію

навколо прямої, що містить бічну сторону, яка перпендикулярна основам

трапеції, то отримаємо тіло, яке називається зрізаним конусом.Круги, що

описуються основами трапеції, називаються основами зрізаного конуса, а

відстань між ними - висотою. В нашому випадку це відрізок CB (мал.)

Площа бічної поверхні конуса.Площа поверхні зрізаного конуса

Теорема.

Площа бічної поверхні конуса дорівнює половині добутку довжини кола його

основи на твірну конуса. Приклади задач№1 Знайдіть площу площу основи

конуса, якщо його радіус=5см

Розв’язання : Основою конуса є круг, а його

площа №2. Найбільший кут між твірними конуса дорівнює 60°.

Знайти відношення бічної поверхні до площі основи конуса.

Розв’язання. Нехай , тоді трикутник – рівносторонній, оскільки за властивостями конуса . До того ж – осьовий переріз, оскільки кут між твірними буде найбільшим лише в цьому випадку.Отже, .; . .Відповідь: 2.

Запитання для контролю знань:

Тіло, яке складається з круга, точки, що не лежить в площині цього круга і всіх відрізків, що з’єднують цю точку з точками основи називається…Круг циліндра називається…Якщо обертати прямокутну трапецію навколо прямої, що містить бічну сторону, яка перпендикулярна основам трапеції, то отримаємо тіло,Площина, паралельна площині основи конуса, перетинає конус по…Переріз, який містить вісь конуса називається…Якщо пряма, що сполучає вершину з центром основи, перпендикулярна основі, то конус…Перпендикуляр, опущений з вершини конуса на площину основи називається…Назвіть побутові речі, які мають форму конуса

Тренувальні вправи:

Розв’яжіть задачі самостійно, записавши відповідь.

№1. Бічною поверхнею конуса є згорнута чверть круга. Знайти повну поверхню цього конуса, якщо площа його осьового перерізу дорівнює . №2. Конус називається рівностороннім, якщо його осьовий переріз є правильним трикутником. Як відноситься бічна поверхня рівностороннього конуса до бічної поверхні рівностороннього циліндра, що має таку ж висоту?Відповідь: /.

№3. Площа бічної поверхні конуса втричі більша площі основи. Знайти кут між твірною і основою.

№4. Радіуси основ зрізаного конуса і , а твірна . Знайти твірну і висоту повного конуса, від якого вилучили зрізаний конус.

№5. У зрізаному конусі діагоналі взаємно перпендикулярні, а твірна утворює з площиною нижньої основи кут і рівна . Знайти площу повної поверхні зрізаного конуса.

№6. Хорда в основі конуса дорівнює і її видно з центра основи під кутом . Знайдіть висоту конуса, якщо його твірна нахилена до основи під кутом .

№7. Осьовим перерізом конуса є прямокутний трикутник, периметр якого дорівнює см. Знайти площу повної поверхні конуса.

№8. Площа бічної поверхні конуса втричі більша від площі основи. Знайти об’єм конуса, якщо радіус основи 2 см.

№9. Твірна зрізаного конуса нахилена до площини більшої основи під кутом . Радіуси основ і . Знайти площу бічної поверхні зрізаного конуса. №10. Центральний кут в розгортці бічної поверхні конуса дорівнює . Висота конуса . Знайти площу бічної поверхні конуса.Відповідь :