Викладач Воробець Г.М.

 

Означення. Циліндром (круговим циліндром) називається тіло, що складається з двох кругів, які не лежать в одній площині і суміщаються паралельним перенесенням, і всіх відрізків, що сполучають відповідні точки цих кругів . Круги називаються основами циліндра, а відрізки, що сполучають точки кіл кругів - твірними циліндра. і - твірні. 1) Оскільки паралельне перенесення є рух, то основи циліндра рівні. 2) Основи циліндра лежать у паралельних площинах, тому що при паралельному перенесенні площина переходить у паралельну площину. 3) Твірні циліндра паралельні і рівні, тому що при паралельному перенесенні точки зміщуються вздовж паралельних прямих на одну й ту ж саму відстань.

Означення. Циліндр називається прямим, якщо його твірні перпендикулярні до площин основ. Ми будемо розглядати тільки прямий циліндр. Означення. Радіусом циліндра називається радіус основи ( на мал. 2).

Означення. Висота циліндра - це відстань між основами циліндра ( на мал. 2).

Означення. Вісь циліндра - пряма, що проходить через центри основ. Можна вважати, що циліндр отримано шляхом обертання прямокутника навколо своєї сторони. Частина циліндричної поверхні, утворена стороною прямокутника, називається бічною поверхнею циліндра.

Перерізи циліндра

Теорема. Площина, паралельна площині основи циліндра, перетинає його бічну поверхню по колу, яке дорівнює колу основи.

Доведення. Нехай α - площина, паралельна площині основи циліндра. Паралельне перенесення вздовж напряму осі циліндра, яке суміщає площину α з площиною основи циліндра, суміщає переріз циліндричної поверхні (бічної поверхні) площиною α з колом основи.Теорему доведеноПлощина, яка паралельна осі циліндра, або не має з ним спільних точок (1), або дотикається циліндра (має з поверхнею одну спільну пряму АВ (2)), або перетинає циліндр (3), в перерізі маємо прямокутник.

Означення. Переріз циліндра площиною, що проходить через його вісь, називається осьовим перерізом циліндра.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Площа поверхні циліндра

 

Теорема. Площа бічної поверхні циліндра дорівнює добутку довжини кола його основи на висоту циліндра. , де - радіус циліндра.Повна поверхня циліндра буде обчислюватися за формулою Якщо розрізати бічну поверхню циліндра вздовж твірної і розгорнути її на площині, то отримаємо прямокутник, який називається розгорткою бічної поверхні циліндра.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Циліндр. Приклади задач

№ 1. Площа основи циліндра відноситься до площі осьового перерізу як і 4. Знайти кут між діагоналями осьового перерізу.

Розв'язання. Розглянемо осьовий переріз ABCD. Твірна циліндра AB дорівнює його висоті, а відрізок AD є

діаметром циліндра, тоді площа перерізу буде В основі циліндра лежить круг, площа якого дорівнює За умовою

задачі можна записати співвідношенняБачимо, що висота циліндра дорівнює діаметру, тобто ABCD - квадрат.

Як відомо, діагоналі квадрата перетинаються під прямим кутом.Відповідь: 90°.

 

 

 

 

 

 

 

№2. В циліндрі радіуса R і висоти

H проведено переріз, паралельний осі циліндра. На якій відстані від осі знаходиться площина перерізу, якщо його

площа дорівнює S?Розв'язання. Відомо, що переріз циліндра площиною, яка паралельна осі циліндра, є

прямокутник. Розглянемо прямокутник ABCD. Його площа S, CD=H, тоді .Опустимо з точки О - центра основи

циліндра перпендикуляр на відрізок AD. Оскільки вісь паралельна перерізу, то OK - відстань від осі до перерізу.

AK=KD.Розглянувши трикутник OKD, маємо: Відповідь: Тоді , але є довжиною кола основи циліндра. Якщо її

позначити ,

 

Дайте відповіді на питання:

Що таке круговий циліндр?

Твірна циліндра-це….

Вісь циліндра-це…

Що таке радіус циліндра?

Властивості основ циліндра?

Висота циліндра?

Який циліндр називається прямим?

Які перерізи циліндра ви знаєте?

Що таке осьовий переріз циліндра?

Який циліндр називається рівностороннім?

Запитання для перевірки знань:

1. Тіло, що складається з двох кругів, які не лежать в одній площині і суміщаються паралельним перенесенням, і всіх відрізків, що сполучають відповідні точки цих кругів називається…

2. Відрізки, що сполучають точки кіл кругів циліндра називаються …

3. Якщо твірні циліндра перпендикулярні до площин основ, то циліндр називається…

4. Пряма, що проходить через центри основ циліндра називається….

5. Радіус основи циліндра називається…

6. Відрізок перпендикулярний до основ циліндра називається…

7. Якщо обертати прямокутник навколо своєї сторони ми одержим…

8. Площина паралельна площині основи циліндра перетинає його по…

9. Переріз циліндра площиною, що проходить через його вісь, називається…

10. Осьовим перерізом циліндра буде…

11. Формула, для обчислення площі основи циліндра.

12. Формула, для знаходження площі бічної поверхні циліндра.

13. Формула, для обчислення площі повної поверхні циліндра.

Тренувальні вправи

№1. Осьовий переріз циліндра - квадрат, діагональ якого дорівнює см. Обчислити об'єм циліндра.

а) 48 см3; б) см3; в) см3; г) інша відповідь.

№2. Осьовим перерізом циліндра є квадрат, площа якого дорівнює 16см2. Обчислити повну поверхню циліндра.

а) 48 см2; б) см2; в) см2; г) см2; д) інша відповідь.

№3. З 1,1м2 заліза виготовили циліндричну трубу діаметром 0,5 м. Знайти довжину труби.

а) ≈ 0,5 м; б) ≈ 0,7 м; в) 0,9 м; г) інша відповідь.

№4. Площа бічної поверхні циліндра - см2, а його об'єм дорівнює см3. Знайти його висоту.

а) 4см; б) 3 см; в) інша відповідь.

№5. Осьовим перерізом циліндра є прямокутник, площа якого 72 см2. Знайти об'єм циліндра, якщо радіус основи дорівнює 3 см.

а) 108 см3; б) см3; в) см3; г) інша відповідь.

№6. Площа бічної поверхні циліндра дорівнює см2. Знайти площу осьового перерізу циліндра.

а) 16 см2; б) 8 см2; в) інша відповідь.

Розв'яжи наступні задачі і впиши відповідь

№7. У циліндрі на відстані 8 см від його осі і паралельно до неї проведено переріз, діагональ якого дорівнює 13 см. Обчислити радіус основи циліндра, якщо його висота дорівнює 5 см.

№8. У циліндрі відрізок, який сполучає центр верхньої основи з точкою кола нижньої основи, нахилений до основи під кутом . Визначити об'єм циліндра, якщо відстань від центра нижньої основи до середини цього відрізка дорівнює а.

№9. Циліндр перетнуто площиною, паралельною осі так, що в перерізі утворився квадрат з діагоналлю - см. Переріз відтинає від кола основи дугу в 60°. Знайти площу повної поверхні циліндра.

№10. Діагоналі осьового перерізу циліндра перетинаються під кутом . Периметр перерізу дорівнює Р. Знайти об'єм циліндра.

№11. Паралельно осі циліндра, бічна поверхня якого Q, проведено площину. Діагональ утвореного перерізу нахилена до площини основи під кутом . Визначити площу перерізу, якщо відрізок, який сполучає центр основи циліндра з точкою кола іншої основи, утворює з площиною основи кут .

№12. Розгорткою бічної поверхні циліндра є прямокутник, одна із сторін якого вдвічі більша від другої. Бічна поверхня циліндра дорівнює 20 дм2. Визначити його повну поверхню, якщо твірна циліндра - менша сторона його розгортки.

№13. У циліндрі паралельно його осі проведено площину, що перетинає нижню основу по хорді, яка стягує дугу . Цю хорду видно із центра верхньої основи під кутом . Знайти площу перерізу, якщо радіус циліндра R.